Chương 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Bài 1: Khái niệm ánh xạ tuyến tính – và các tính chất
______________________________________________
Khái niệm ánh xạ tuyến tính
1.1 Định nghĩa: Cho hai không gian vectơ V và V’ trên trường K. Một ánh xạ
được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

(tính bảo toàn phép cộng).

(tính bảo toàn phép nhân với vô hướng).
Nếu V = V’ thì ta gọi f là phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính.
Đặt L(V, W) là tập tất cả các ánh xạ tuyến tính từ V vào W. Trên L(V, W) ta đặt các phép toán sau:



Khi đó, L(V, W) cùng với hai phép toán được định nghĩa như trên là không gian vector.
Sinh viên tự kiểm tra không gian này thỏa các tiên đề về không gian vector.
Chú ý: Ở điều kiện (i) thì phép (+) bên vế trái là phép cộng trong V còn phép cộng bên vế phải là phép (+) trong V’, tương tự với điều kiện (ii).
Các điều kiện (i) và (ii) trong định nghĩa có thể thay thế bằng điều kiện sau:


Ví dụ:
Ánh xạ

là một ánh xạ tuyến tính và được gọi là phép nhúng từ K vào
.
Với mỗi i = 1, 2, …, n ta đặt ánh xạ

là một ánh xạ tuyến tính và được gọi là phép chiếu lên thành phần thứ i của
.
Ánh xạ:
là ánh xạ tuyến tính, gọi là ánh xạ không.
Kiểm tra ánh xạ
có phải là ánh xạ tuyến tính không?
Giải:
Với
suy ra
và
với
. Khi đó,


Khi đó,

Vậy ánh xạ h cho bởi công thức trên là ánh xạ tuyến tính.
Hơn nữa đây còn là một phép biến đổi tuyến tính, hay toán tử tuyến tính từ không gian vector
vào chính nó.
Các tính chất:
Nếu f là một ánh xạ tuyến tính từ V vào V’ thì ta có:




iii) Nếu
và
là các ánh xạ tuyến tính thì
cũng là ánh xạ tuyến tính.
iv) Qua một ánh xạ tuyến tính thì một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính (trong V) được biến thành một hệ phụ thuộc tuyến tính (trong V’). Tức là nếu hệ các vectơ
phụ thuộc tuyến tính trong V, thì hệ
phụ thuộc tuyến tính trong V’.
v) Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạng của một hệ vectơ. Tức là:


Định lý cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính:
3.1 Định lý: Cho một cơ sở
của không gian vectơ V (
) và
là n vectơ tùy ý của không gian vectơ V’. Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính
sao cho
hay nói khác hơn ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở.
3. 2 Ví dụ:
Trong
cho cơ sở chính tắc
, trong
cho 3 vectơ
. Hãy xác định ánh xạ
thỏa tính chất
.
Giải:
Với
ta có
. Do f là ánh xạ tuyến tính thỏa
nên có

Vậy
■
2) Trong
cho hai hệ vectơ
và
. Hỏi có tồn tại một phép biến đổi tuyến tính
thỏa
không? Nếu có hãy xác định công thức của f.
Giải:
Hệ vectơ
độc lập tuyến tính do

.
nên suy ra
là một cơ sở của
. Do đó, tồn tại một phép biến đổi tuyến tính từ
sao cho
.
Cho
, giả sử
. Khi đó,


.
Vậy công thức biểu diễn của phép biến đổi tuyến tính f
■
3) Giả sử cho
là một ánh xạ tuyến tính thỏa mãn

Khi đó,
thì





















Bài 2: Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính
____________________________________
Ma trận và biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính:
1.1 Ma trận của một ánh xạ tuyến tính:
Cho
là ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ n chiều V vào không gian vectơ m chiều V’ (với
. Giả sử
và
lần lượt là hai cơ sở được sắp của không gian V và V’. Khi đó, mỗi vectơ
trong V’ có dạng:
, hay
. Vậy f sẽ hoàn toàn xác định nếu biết các hệ số
, hay f được xác định bởi ma trận
.
Ma trận
là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ sở (B; B’).
Ma trận A là ma trận với m dòng (bằng số chiều của không gian V’) và n cột (bằng